100에서 10% 오르면 110이에요. 110에서 10% 내리면 99예요. 같은 10%인데 1이 사라졌어요. 결론부터 말하면 증감률은 항상 '처음 값'을 분모로 계산하는데, 오를 때와 내릴 때 그 분모가 달라지기 때문이에요. 오를 때의 10%는 100의 10%, 내릴 때의 10%는 110의 10%거든요.
처음 이 계산을 해보면 묘하게 억울해요. 하지만 이 비대칭을 한 번 이해해두면 투자 수익률, 매출 증감, 할인 후 가격 복원, 연평균 수익률 광고까지 많은 숫자를 정확하게 읽을 수 있어요. 이 글에서는 증감률 공식부터 손실 회복 수익률, 변동성이 잔고를 깎는 원리, 산술평균과 기하평균의 차이까지 실제 계산으로 정리해볼게요.
핵심 요약
증감률(%) = (나중 값 − 처음 값) ÷ 처음 값 × 100이고, 분모인 처음 값이 매번 바뀌어서 비대칭이 생겨요.
손실을 회복하려면 손실률보다 큰 상승률이 필요해요. −30%는 +42.9%, −50%는 +100%가 있어야 본전이에요.
같은 폭으로 오르내림을 반복하면 잔고가 줄어요. ±20%를 5번 반복하면 100이 약 81.5가 돼요.
+50%, −50%의 산술평균은 0%지만 실제 연평균(기하평균) 수익률은 약 −13.4%예요.
증감률 계산 공식, 분모가 전부다
증감률(%) = (나중 값 − 처음 값) ÷ 처음 값 × 100
계산 예시:
- 100 → 110: (110 − 100) ÷ 100 × 100 = +10%
- 110 → 99: (99 − 110) ÷ 110 × 100 = −10%
- 100 → 99: (99 − 100) ÷ 100 × 100 = −1%
두 번의 변화를 합칠 때는 더하지 말고 곱해야 해요. 1.10 × 0.90 = 0.99. 그래서 +10%와 −10%를 연달아 겪으면 −1%가 돼요. 일반화하면 같은 폭 a로 오르고 내리면 (1 + a)(1 − a) = 1 − a²라서, 항상 a²만큼 줄어요. 10%면 1%, 20%면 4%, 50%면 25%가 사라져요.
손실 회복에 필요한 수익률 표
이 원리가 가장 뼈아프게 드러나는 곳이 투자 손실이에요. 떨어진 뒤에는 기준값이 작아졌으니, 원래 자리로 돌아가려면 떨어진 비율보다 큰 비율로 올라야 해요.
필요 상승률 = 손실률 ÷ (1 − 손실률) (예: 0.3 ÷ 0.7 = 약 42.9%)
| 손실률 | 남은 금액(100 기준) | 본전까지 필요한 상승률 |
|---|---|---|
| −10% | 90 | 약 +11.1% |
| −20% | 80 | +25% |
| −30% | 70 | 약 +42.9% |
| −50% | 50 | +100% |
| −70% | 30 | 약 +233.3% |
| −90% | 10 | +900% |
시간까지 넣으면 더 실감 나요. −30% 손실을 회복하려면 1년 안에 +42.9%가 필요하고, 3년이라면 매년 약 +12.6%, 5년이라면 매년 약 +7.4%를 꾸준히 내야 해요. −50%라면 5년 동안 매년 약 +14.9%가 필요해요. 손실 회복을 시간과 함께 보는 방법은 손실 회복 수학에서 더 자세히 다뤘어요.
변동성 자체가 비용이다: 같은 폭 반복의 함정
오르내림의 폭이 같아도, 반복될수록 잔고는 꾸준히 줄어요. 100에서 시작해 +a%, −a%를 번갈아 10번(5쌍) 겪는 경우를 계산해봤어요.
오른 횟수와 내린 횟수가 같아도 ±30%면 10번 만에 잔고가 37.6% 줄어요.
표로 보기
| 구분 | ±10% | ±20% | ±30% |
|---|---|---|---|
| 시작 | 100 | 100 | 100 |
| 1 | 110 | 120 | 130 |
| 2 | 99 | 96 | 91 |
| 3 | 109 | 115 | 118 |
| 4 | 98 | 92.2 | 82.8 |
| 5 | 108 | 111 | 108 |
| 6 | 97 | 88.5 | 75.4 |
| 7 | 107 | 106 | 98 |
| 8 | 96.1 | 84.9 | 68.6 |
| 9 | 106 | 102 | 89.1 |
| 10 | 95.1 | 81.5 | 62.4 |
| 반복 폭 | 1쌍 후 | 5쌍(10회) 후 | 10쌍(20회) 후 |
|---|---|---|---|
| ±5% | 99.75 | 98.8 | 97.5 |
| ±10% | 99 | 95.1 | 90.4 |
| ±20% | 96 | 81.5 | 66.5 |
| ±30% | 91 | 62.4 | 38.9 |
평균 변화율은 0%처럼 보이는데 실제 잔고는 줄어드는 이 현상을 흔히 '변동성 손실(volatility drag)'이라고 불러요. 레버리지 상품이 횡보장에서 손해를 보는 이유도 같은 원리예요. 매일 ±10% 움직이는 기초자산을 2배로 추종하면 ±20%를 반복하는 셈이라, 기초자산은 제자리여도 상품 가격은 훨씬 더 깎여요.
산술평균 vs 연평균(기하평균) 수익률
"연평균 수익률 25%"라는 문구를 보면 어떤 평균인지 꼭 확인해야 해요.
예시: 첫해 +50%, 둘째 해 −50%
- 산술평균: (50 + (−50)) ÷ 2 = 0%
- 실제 잔고: 100 → 150 → 75, 2년 동안 −25%
- 연평균(기하평균, CAGR): (0.75)^(1/2) − 1 = 약 −13.4%
| 구분 | 계산 방법 | 위 예시 결과 | 쓰임 |
|---|---|---|---|
| 산술평균 | 연 수익률을 더해 연수로 나눔 | 0% | 한 해 기대 수익률 추정 |
| 기하평균(CAGR) | (최종 ÷ 처음)^(1/연수) − 1 | 약 −13.4% | 실제로 불어난 속도 |
실제로 내 돈이 얼마나 불었는지는 기하평균이 말해줘요. 변동성이 클수록 산술평균과 기하평균의 차이가 벌어지고, 산술평균은 늘 기하평균보다 크거나 같아요. 그래서 광고에서는 산술평균이 더 매력적으로 보일 수 있어요. 복리가 시간과 함께 어떻게 작동하는지는 복리와 시간에서 이어서 볼 수 있어요.
투자 밖에서도 똑같은 비대칭
이 비대칭은 투자에만 있지 않아요. 생활 속 숫자에도 그대로 나타나요.
| 상황 | 계산 | 결과 |
|---|---|---|
| 매출 30% 감소 후 30% 증가 | 100 × 0.7 × 1.3 | 원래의 91% |
| 20% 할인가를 원래 가격으로 | 80 → 100 | 25% 인상 필요 |
| 가격 25% 인상 후 20% 할인 | 100 × 1.25 × 0.8 | 정확히 원래 가격 |
| 연봉 동결 해 물가 3% 상승 | 실질 구매력 1 ÷ 1.03 | 약 2.9% 감소 |
| 물가 3% 2년 연속 | 1.03 × 1.03 | 6%가 아니라 6.09% |
할인과 복원 관계는 쇼핑에서 특히 자주 보여요. "정가를 25% 올렸다가 20% 할인"하면 할인 전과 똑같은 가격이에요. 할인 계산의 함정은 할인율 계산과 부가세 역산에서 따로 정리했어요.
수수료와 세금도 같은 방향으로 작동
수수료는 기준값을 매년 조금씩 깎아내요. 연 5% 수익이 나는 자산에 연 1%의 비용이 붙는다고 해볼게요(예시).
- 비용 없음: 1.05^20 = 약 2.653배
- 비용 1% (실질 4%): 1.04^20 = 약 2.191배
- 20년 뒤 결과 차이: 약 17.4% 적음
1%p라는 작은 차이가 20년 동안 곱해지면서 최종 금액의 6분의 1 가까이를 가져가요. 매매할 때마다 붙는 거래 비용도 같은 방식으로 누적되니, 잦은 매매의 비용은 과도한 매매의 숨은 비용에서 숫자로 확인해보세요.
"저점 대비 30% 반등" 기사, 고점 대비로 다시 계산하기
하락 뒤 반등을 다룬 기사에서는 기준값을 저점으로 잡는 경우가 많아요. 그런데 내 계좌의 기준은 보통 내가 산 가격(고점 근처)이에요. 같은 움직임을 기준만 바꿔서 계산해볼게요(예시).
| 시점 | 가격 | 고점(100) 대비 | 직전 시점 대비 |
|---|---|---|---|
| 고점 | 100 | 0% | — |
| 급락 | 60 | −40% | −40% |
| 반등 | 78 | −22% | +30% |
| 추가 반등 | 90 | −10% | 약 +15.4% |
"저점 대비 30% 반등"이라는 헤드라인은 사실이지만, 고점에서 산 사람은 여전히 22% 손실이에요. 반대로 저점 근처에서 산 사람은 30% 수익이고요. 그래서 숫자를 볼 땐 "어디서부터 잰 퍼센트인지"를 먼저 확인해야 해요.
전년 대비, 전월 대비, 누적 증감률
통계 기사에서도 같은 문제가 있어요.
- 전년 동월 대비(YoY): 1년 전 같은 달과 비교. 계절 요인이 사라져 추세를 보기 좋아요.
- 전월 대비(MoM): 바로 전 달과 비교. 변화가 빨리 보이지만 계절·일시 요인에 흔들려요.
- 누적 증감률: 기준 시점부터 쌓인 변화. 월별 증감률을 더하지 말고 곱해서 구해야 해요. 매달 +1%씩 12개월이면 12%가 아니라 1.01^12 − 1 = 약 12.7%예요.
전월 대비 −2%라는 숫자가 나와도 전년 대비로는 +5%일 수 있어요. 둘 중 어느 쪽 숫자를 제목에 쓰느냐에 따라 기사의 분위기가 완전히 달라지죠.
증감률 계산할 때 흔한 실수
- 변화율을 더하기: +10%와 −10%를 더해 0%라고 판단하는 실수. 곱해야 해요(1.1 × 0.9).
- 기준값 착각: "어제보다 20% 떨어졌다"를 "고점보다 20%"로 읽는 실수. 무엇 대비인지 확인해야 해요.
- %와 %p 혼동: 수익률 10%에서 5%는 5%p 하락이자 50% 감소예요. 단위 구분은 %와 %p 차이를 참고하세요.
- 음수 기준값: 영업이익이 −10억에서 +5억이 되면 증감률 공식이 의미를 잃어요. 이럴 땐 '흑자 전환'처럼 말로 표현하는 게 정확해요.
- 산술평균 수익률만 보기: 변동성이 큰 상품일수록 연평균(기하평균)과 차이가 커요.
자주 묻는 질문
증감률은 어떻게 계산하나요?
(나중 값 − 처음 값) ÷ 처음 값 × 100이에요. 예를 들어 매출이 800에서 1,000이 됐다면 (1,000 − 800) ÷ 800 × 100 = 25% 증가예요. 분모는 항상 비교의 출발점인 처음 값이에요.
10% 오르고 10% 내리면 왜 1% 손해인가요?
변화가 곱셈으로 쌓이기 때문이에요. 1.1 × 0.9 = 0.99라서 1%가 줄어요. 같은 폭 a로 오르내리면 항상 a²만큼 줄어들어서, 20%면 4%, 30%면 9%가 사라져요.
50% 손실을 보면 몇 % 올라야 본전인가요?
100% 올라야 해요. 100이 50이 되면, 50이 다시 100이 되려면 두 배가 돼야 하거든요. 공식은 손실률 ÷ (1 − 손실률)이고, 0.5 ÷ 0.5 = 1, 즉 100%예요.
연평균 수익률은 어떻게 구하나요?
(최종 금액 ÷ 처음 금액)^(1 ÷ 연수) − 1로 구해요. 3년 동안 1,000만 원이 1,331만 원이 됐다면 (1.331)^(1/3) − 1 = 10%예요. 매년 수익률을 단순히 더해 나누는 산술평균과는 다른 값이에요.
월별 증감률을 더하면 연간 증감률이 되나요?
정확하지 않아요. 변화는 곱셈으로 쌓이니 (1 + 월 증감률)을 12번 곱한 뒤 1을 빼야 해요. 매달 +1%면 단순 합은 12%지만 실제로는 약 12.7%예요. 증감률이 작을 땐 차이가 작지만, 클수록 벌어져요.
순서를 바꾸면 결과가 달라지나요?
곱셈이라 순서는 상관없어요. +10% 후 −10%든, −10% 후 +10%든 결과는 똑같이 99예요. 다만 중간에 돈을 넣거나 빼면 순서에 따라 결과가 달라져요.
정리
증감률의 비대칭은 분모인 처음 값이 매번 바뀌기 때문에 생겨요. 그래서 손실 회복에는 손실률보다 큰 상승률이 필요하고, 같은 폭의 오르내림은 잔고를 깎고, 산술평균 수익률은 실제 성과보다 좋아 보여요. 변화는 더하지 말고 곱하고, 수익률은 연평균(기하평균)으로 확인하는 습관을 들여보세요.
직접 계산은 퍼센트 계산기의 증감률 기능에 처음 값과 나중 값을 넣어보면 바로 확인돼요.