레시피는 4인분인데 6명이 먹어야 할 때, 공동 구매 금액을 낸 돈의 비율대로 나눠야 할 때, 지도에서 잰 거리가 실제로 몇 km인지 알고 싶을 때 모두 비례식을 써요. 학교에서 배웠는데 막상 쓰려니 어디에 뭘 곱하는지 가물가물하죠. 결론부터 말하면 비례식 a : b = c : d는 "내항의 곱 = 외항의 곱", 즉 b × c = a × d라는 성질 하나로 풀려요. 모르는 값이 하나면 나머지 셋을 곱하고 나누기만 하면 돼요.
이 글에서는 비와 비율의 차이, 비를 간단히 하는 법, 비례식 푸는 순서, 금액을 비율대로 나누는 비례배분, 레시피·지도 축척·연비 같은 생활 예시, 그리고 정비례와 반비례를 헷갈려서 생기는 실수까지 정리했어요. 숫자만 넣어서 바로 풀고 싶다면 비율 계산기에서 비례식, 비율 단순화, 금액 분배를 한 번에 할 수 있어요.
핵심 요약
비례식 a : b = c : d에서 바깥쪽 a와 d가 외항, 안쪽 b와 c가 내항이에요. 내항의 곱과 외항의 곱은 항상 같아요.
모르는 값 x가 있으면 "x와 대각선에 있는 두 수를 곱하고, 남은 수로 나누기"로 바로 구해요. 3 : 5 = x : 40이면 x = 3 × 40 ÷ 5 = 24예요.
비례배분은 전체를 비의 합으로 나눈 뒤 각 몫을 곱해요. 120만 원을 3 : 2로 나누면 72만 원과 48만 원이에요.
사람이 늘면 걸리는 날이 줄어드는 관계는 반비례예요. 비례식을 그대로 쓰면 틀리니 "곱이 일정하다"로 풀어야 해요.
비와 비율, 비례식의 뜻
비는 두 양을 "a : b"로 나란히 놓고 비교하는 표현이에요. 밀가루와 설탕을 3 : 1로 넣는다는 건 밀가루가 설탕의 3배라는 뜻이에요. 비율은 이 비를 하나의 수로 바꾼 값이에요. 3 : 1의 비율은 3 ÷ 1 = 3이고, 1 : 4의 비율은 0.25, 퍼센트로는 25%예요.
비례식은 비율이 같은 두 비를 등호로 이은 식이에요. 3 : 5 = 6 : 10은 두 비의 비율이 모두 0.6이라서 성립해요. 여기서 위치에 따라 이름이 붙어요.
- 외항 — 바깥쪽 두 수 (3과 10)
- 내항 — 안쪽 두 수 (5와 6)
그리고 비례식의 가장 중요한 성질이 내항의 곱 = 외항의 곱이에요. 5 × 6 = 30, 3 × 10 = 30으로 같죠. 이 성질은 a/b = c/d의 양변에 b × d를 곱하면 a × d = b × c가 되는 것에서 나와요. 분수식을 엇갈려 곱하는 것과 같은 원리예요.
비 간단히 하기, 최대공약수로 나누기
비는 양쪽에 같은 수를 곱하거나 나눠도 비율이 그대로예요. 그래서 계산하기 쉽게 가장 작은 자연수로 줄여 쓰는데, 이걸 "비를 간단히 한다"고 해요.
| 원래 비 | 하는 일 | 간단한 비 |
|---|---|---|
| 24 : 36 | 최대공약수 12로 나누기 | 2 : 3 |
| 1920 : 1080 | 최대공약수 120으로 나누기 | 16 : 9 |
| 0.6 : 0.9 | 10을 곱한 뒤 3으로 나누기 | 2 : 3 |
| 1/2 : 1/3 | 분모의 최소공배수 6을 곱하기 | 3 : 2 |
| 500 : 300 : 200 | 100으로 나누기 | 5 : 3 : 2 |
소수가 섞이면 10, 100을 곱해 자연수로 만들고, 분수가 섞이면 분모들의 최소공배수를 곱해요. 화면 해상도 1920 × 1080이 16 : 9인 것도 같은 계산이에요. 이미지 비율을 다루는 방법은 이미지 비율 계산법, 16:9·4:5 크기 변환에서, 사진 크기로 바로 계산하려면 이미지 비율 계산기를 쓰면 돼요.
비례식 푸는 법, 모르는 값 x 구하기
모르는 값이 x 하나인 비례식은 세 단계로 풀어요.
- 내항끼리, 외항끼리 곱해서 식을 세워요.
- 두 곱이 같다고 놓아요.
- x에 곱해진 수로 양변을 나눠요.
예시 1: 3 : 5 = x : 40
- 내항의 곱: 5 × x = 5x
- 외항의 곱: 3 × 40 = 120
- 5x = 120 → x = 24
예시 2: 7 : x = 21 : 9
- 내항의 곱: x × 21 = 21x
- 외항의 곱: 7 × 9 = 63
- 21x = 63 → x = 3
더 빠른 방법도 있어요. x가 내항이면 외항 둘을 곱해 나머지 내항으로 나누고, x가 외항이면 내항 둘을 곱해 나머지 외항으로 나누면 바로 답이 나와요. 예시 1은 x가 내항이라 3 × 40 ÷ 5 = 24, 예시 2도 x가 내항이라 7 × 9 ÷ 21 = 3이에요. x가 외항인 예로 x : 4 = 15 : 12라면 내항 4 × 15 = 60을 나머지 외항 12로 나눠 x = 5예요.
비례배분, 금액을 비율대로 나누는 법
비례배분은 전체를 주어진 비대로 나누는 거예요. 공동 구매, 동업 수익, 관리비 분담처럼 생활에서 가장 자주 쓰는 비례 계산이에요.
비례배분 = 전체 × (내 몫 ÷ 비의 합)
예시: 120만 원을 3 : 2로 나누기
- 비의 합: 3 + 2 = 5
- 첫째 몫: 120 × 3/5 = 72만 원
- 둘째 몫: 120 × 2/5 = 48만 원
예시: 세 명이 500만·300만·200만 원을 내서 수익 150만 원을 나누기
- 비를 간단히: 5 : 3 : 2, 합 10
- 각자 몫: 150 × 5/10 = 75만 원, 150 × 3/10 = 45만 원, 150 × 2/10 = 30만 원
비례배분 결과는 다 더해서 전체와 같은지 꼭 확인하세요. 75 + 45 + 30 = 150이 맞아요. 나누어떨어지지 않아 원 단위가 생기면 반올림한 뒤 마지막 사람 몫을 "전체 − 앞사람들 합"으로 맞추면 1원 오차가 사라져요. 몫을 퍼센트로 보여 줘야 한다면 퍼센트 계산기로 각 금액이 전체의 몇 %인지 확인할 수 있어요.
생활 속 비례식: 레시피·지도 축척·연비
레시피 인원 바꾸기
4인분 레시피에 밀가루 300g이면 6인분은? 4 : 300 = 6 : x → 4x = 1,800 → x = 450g. 더 쉽게는 "6 ÷ 4 = 1.5배"를 모든 재료에 곱해도 같아요. 다만 소금·향신료는 정확히 비례로 늘리면 짜게 느껴지는 경우가 많아서, 1.5배 레시피라면 소금은 조금 덜 넣고 맛을 보며 맞추는 게 무난해요.
지도 축척
축척 1 : 50,000 지도에서 두 지점이 3.2cm 떨어져 있다면 실제 거리는 1 : 50,000 = 3.2 : x → x = 160,000cm = 1.6km예요. 축척은 "지도 1cm가 실제 몇 cm인가"라서, 단위를 cm로 맞춘 다음 km로 바꾸는 게 실수가 적어요.
연비와 주유량
연비 12km/L인 차로 300km를 가면 1 : 12 = x : 300 → x = 25L가 필요해요. 기름값까지 계산하려면 리터당 가격을 곱하면 돼요. 출퇴근 거리별 유류비는 연비 계산법과 월 주유비 계산에 표로 정리해 두었어요.
정비례와 반비례, 비례식이 안 통하는 경우
비례식은 두 양이 정비례할 때만 그대로 쓸 수 있어요. 한쪽이 2배가 되면 다른 쪽도 2배가 되는 관계예요(재료 양과 인원, 거리와 주유량). 반대로 한쪽이 2배가 되면 다른 쪽이 절반이 되는 관계는 반비례예요.
대표적인 예가 작업 인원과 기간이에요. 4명이 6일 걸리는 일을 3명이 하면 며칠 걸릴까요? 비례식 4 : 6 = 3 : x로 풀면 x = 4.5일이 나오는데, 사람이 줄었는데 기간이 줄어드는 말이 안 되는 답이에요. 반비례는 두 양의 곱이 일정하다로 풀어야 해요. 4 × 6 = 24(인·일)이므로 3명이면 24 ÷ 3 = 8일이에요.
인원이 2배가 되면 일수는 절반이 돼요. 실제 작업은 인원이 늘수록 협업 비용이 생겨서 이론값보다 더 걸리는 경우가 많아요.
표로 보기
| 구분 | 소요 일수 |
|---|---|
| 1명 | 24 |
| 2명 | 12 |
| 3명 | 8 |
| 4명 | 6 |
| 6명 | 4 |
| 8명 | 3 |
| 12명 | 2 |
반비례 관계의 다른 예로는 속력과 걸리는 시간(같은 거리), 1인당 금액과 인원(같은 총액) 등이 있어요. 문제를 풀기 전에 "한쪽이 늘면 다른 쪽도 늘어나나?"를 먼저 물어보면 비례인지 반비례인지 바로 구분돼요.
비례식 계산할 때 흔한 실수
- 단위가 다른 채로 계산 — 지도 축척에서 cm와 km를 섞으면 답이 10만 배 틀려요. 단위부터 맞추세요.
- 비의 순서 바꾸기 — 3 : 5 = x : 40에서 오른쪽을 40 : x로 쓰면 순서가 뒤집혀 다른 답이 나와요. 같은 위치에 같은 종류의 양을 둬야 해요.
- 반비례를 비례로 풀기 — 인원·기간, 속력·시간은 곱이 일정한 관계예요.
- 비례배분 합계 확인 안 하기 — 반올림 때문에 합계가 1원 어긋날 수 있어요. 마지막 몫으로 맞추세요.
- 비율과 퍼센트 혼동 — 3 : 2에서 첫째 몫은 60%예요. 3/2 = 150%로 착각하지 않게 비의 합으로 나눠야 해요.
자주 묻는 질문
비례식은 어떻게 푸나요?
내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 성질을 써요. a : b = c : d이면 b × c = a × d예요. 모르는 값이 하나면 이 식에 넣고 x에 곱해진 수로 나누면 돼요.
내항과 외항은 무엇인가요?
비례식 a : b = c : d에서 안쪽에 있는 b와 c가 내항, 바깥쪽에 있는 a와 d가 외항이에요. 3 : 5 = 6 : 10이면 내항은 5와 6, 외항은 3과 10이에요.
비례배분은 어떻게 계산하나요?
전체 × (내 몫 ÷ 비의 합)으로 계산해요. 100만 원을 3 : 1로 나누면 비의 합 4로 나눠 75만 원과 25만 원이에요.
비를 간단히 하려면 어떻게 하나요?
두 수의 최대공약수로 나눠요. 24 : 36은 12로 나눠 2 : 3이 돼요. 소수는 10이나 100을 곱하고, 분수는 분모의 최소공배수를 곱해 자연수로 만든 뒤 줄여요.
정비례와 반비례는 어떻게 구분하나요?
한쪽이 2배가 될 때 다른 쪽도 2배가 되면 정비례, 절반이 되면 반비례예요. 정비례는 비례식으로, 반비례는 두 양의 곱이 일정하다는 식으로 풀어요.
정리
비례식은 내항의 곱 = 외항의 곱 하나로 풀리고, 비례배분은 전체 × 내 몫 ÷ 비의 합으로 끝나요. 계산 전에 단위를 맞추고, 두 양이 정비례인지 반비례인지 먼저 확인하면 실수할 일이 거의 없어요.
- 비례식·비 단순화·금액 분배: 비율 계산기
- 몫을 퍼센트로 확인: 퍼센트 계산기
- 화면·사진 비율: 이미지 비율 계산기
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