🔢 소인수분해 계산기

사용법

1. 소인수분해할 자연수를 넣으면 바로 결과가 나와요. 2부터 9,007,199,254,740,991(2⁵³ − 1)까지 정확하게 계산해요.
2. 큰 글자로 지수 표기(예: 360 = 2³ × 3² × 5)가 나오고, 아래에 소수 여부, 약수 개수, 약수의 합, 바로 앞뒤 소수가 보여요.
3. 거꾸로 나누기(나눗셈 사다리) 풀이는 교과서에서 쓰는 모양 그대로라 숙제 풀이를 확인할 때 써요.
4. 약수가 2,000개 이하면 약수 목록을 작은 수부터 모두 보여 줘요. copy 버튼으로 결과 전체를 복사할 수 있어요.

소인수분해란

1보다 큰 자연수를 소수(1과 자기 자신만 약수로 가지는 수)들의 곱으로 나타내는 것이에요. 2, 3, 5, 7, 11, 13 …이 소수이고, 곱하는 순서를 무시하면 소인수분해 결과는 하나뿐이에요(산술의 기본 정리). 그래서 소인수분해를 해 두면 약수, 최대공약수·최소공배수, 제곱수 판별 같은 문제를 한 번에 풀 수 있어요. 중학교 1학년 수학 첫 단원에서 배우는 내용이에요.

계산 공식

1) 작은 소수부터 나누기 (시행 나눗셈)

2로 나눠지지 않을 때까지 나누고, 다음 3, 5, 7 …로 계속 나눠요. 나누는 수가 남은 수의 제곱근보다 커지면 멈추는데, 그때 남은 수가 1보다 크면 그 수 자체가 소수예요. 이 계산기도 같은 방법으로 2와 3 다음에는 6k ± 1 꼴(5, 7, 11, 13 …)만 나눠서 빠르게 끝내요.

2) 약수의 개수와 합

n = p^a × q^b × r^c 이면

• 약수의 개수 = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
• 약수의 합 = (1 + p + … + p^a)(1 + q + … + q^b)(1 + r + … + r^c)

각 소인수를 0번부터 지수만큼 고르는 경우의 수를 곱한 것이 약수 개수예요. 약수의 개수가 홀수이면 그 수는 제곱수예요(36 = 2² × 3², 약수 9개).

계산 예시 — 360

360 ÷ 2 = 180, ÷ 2 = 90, ÷ 2 = 45 → 2로 세 번. 45 ÷ 3 = 15, ÷ 3 = 5 → 3으로 두 번. 남은 5는 소수예요. 그래서 360 = 2³ × 3² × 5이고, 약수의 개수는 (3+1)(2+1)(1+1) = 24개, 약수의 합은 (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5) = 15 × 13 × 6 = 1,170이에요. 하루가 24시간, 원이 360도인 것처럼 약수가 많은 수는 여러 방법으로 똑같이 나누기 좋아서 단위로 많이 쓰여요.

2026은 2 × 1013, 2027은 그 자체가 소수예요. 위 표의 값은 모두 이 페이지의 계산 코드로 다시 확인한 값이에요.

소인수분해로 푸는 문제

• 최대공약수·최소공배수 — 두 수를 소인수분해해서 공통 소인수의 작은 지수끼리 곱하면 최대공약수, 큰 지수끼리 곱하면 최소공배수예요. 여러 수를 한꺼번에 구하려면 최대공약수·최소공배수 계산기를 쓰세요.
• 제곱수 만들기 — "72에 가장 작은 자연수를 곱해 제곱수를 만들어라": 72 = 2³ × 3² 이라 지수를 모두 짝수로 만들려면 2를 한 번 더 곱해야 해요. 답은 2(72 × 2 = 144 = 12²).
• 분수 약분 — 분자와 분모를 소인수분해해 같은 소인수를 지우면 기약분수가 돼요. 분수 계산기도 같은 원리로 약분해요.
• 암호 — 인터넷 보안에 쓰는 RSA 암호는 아주 큰 두 소수를 곱하기는 쉽지만 그 곱을 다시 소인수분해하기는 매우 어렵다는 점을 이용해요. 이 계산기가 다루는 16자리 정도는 금방 풀리지만, 실제 암호에는 수백 자리 수를 써요.

자주 하는 실수

• 1을 소수로 넣기 — 1은 소수도 합성수도 아니에요. 소인수분해 결과에 1을 쓰지 않아요.
• 합성수로 나누기 — 4나 6으로 나누면 소인수분해가 끝나지 않아요(예: 24 = 4 × 6 은 소인수분해가 아니에요. 2³ × 3 으로 써야 해요).
• 지수 빠뜨리기 — 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 를 지수로 묶어 2³ × 3² × 5 처럼 쓰는 게 표준 답안이에요. 작은 소인수부터 쓰는 것도 관례예요.

계산 범위: 자바스크립트가 정수를 정확하게 다루는 2⁵³ − 1까지. 큰 소수 두 개의 곱(예: 15자리 이상)은 계산에 1초 안팎 걸릴 수 있어요. 경우의 수 계산은 순열·조합 계산기에서 할 수 있어요.

자주 묻는 질문

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