📐 도형 넓이·부피 계산기 (원·삼각형·사다리꼴·원기둥·구)
삼각형·사각형·원·부채꼴·타원의 넓이와 둘레, 직육면체·원기둥·원뿔·구의 부피와 겉넓이를 한 곳에서 계산해요. 공식과 생활 속 예시도 함께 있어요.
사용법
- 도형을 고르면 필요한 입력 칸이 바뀌어요. 원은 반지름, 직사각형은 가로·세로, 원기둥은 밑면 반지름과 높이처럼 도형마다 필요한 값만 보여요.
- 길이 단위를 고르고 숫자를 넣으면 평면도형은 넓이와 둘레, 입체도형은 부피와 겉넓이가 바로 나와요. 단위가 m이면 넓이를 평으로, cm이면 제곱미터로도 바꿔 줘요.
- 지름만 알면 2로 나눠 반지름을 넣어요. 원기둥 높이처럼 방향이 있는 값은 밑면에 수직으로 잰 길이예요.
평면도형 넓이 공식
| 도형 | 넓이 | 둘레 | 예시 |
|---|---|---|---|
| 직사각형 | 가로 × 세로 | 2 × (가로 + 세로) | 5×3 → 넓이 15, 둘레 16 |
| 삼각형 | 밑변 × 높이 ÷ 2 | 세 변의 합 | 밑변 8, 높이 5 → 20 |
| 삼각형(세 변) | √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = 세 변의 합 ÷ 2 | a + b + c | 3·4·5 → 6, 13·14·15 → 84 |
| 평행사변형 | 밑변 × 높이 | 2 × (밑변 + 옆변) | 밑변 7, 높이 4 → 28 |
| 사다리꼴 | (윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2 | 네 변의 합 | 4·10·높이 6 → 42 |
| 마름모 | 대각선 × 대각선 ÷ 2 | 4 × √((p/2)² + (q/2)²) | 6·8 → 넓이 24, 둘레 20 |
| 원 | π × 반지름² | 2 × π × 반지름 | 반지름 10 → 넓이 314.16, 둘레 62.83 |
| 부채꼴 | π × 반지름² × 중심각 ÷ 360 | 2 × 반지름 + 호의 길이 | 반지름 6, 120° → 넓이 37.7, 호 12.57 |
| 타원 | π × a × b | 정확한 식이 없어 근사 사용 | 5·3 → 넓이 47.12, 둘레 약 25.53 |
삼각형의 넓이를 세 변만 알 때 구하는 식이 헤론의 공식이에요. 변이 3, 4, 5이면 s = 6이고 √(6×3×2×1) = √36 = 6이에요. 두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 삼각형이 만들어지는데, 이 조건이 안 맞으면 계산기가 알려 줘요. 타원은 둘레를 정확히 적는 간단한 식이 없어서 라마누잔 근사식 π × (3(a+b) − √((3a+b)(a+3b)))을 써요. 장반경 5, 단반경 3이면 25.53로 실제 값(약 25.527)과 소수 셋째 자리까지 같아요.
입체도형 부피·겉넓이 공식
| 도형 | 부피 | 겉넓이 | 예시 |
|---|---|---|---|
| 직육면체 | 가로 × 세로 × 높이 | 2(가로세로 + 세로높이 + 가로높이) | 2·3·4 → 부피 24, 겉넓이 52 |
| 정육면체 | 모서리³ | 6 × 모서리² | 5 → 부피 125, 겉넓이 150 |
| 원기둥 | π × 반지름² × 높이 | 2π × 반지름 × (반지름 + 높이) | 반지름 3, 높이 10 → 282.74, 245.04 |
| 원뿔 | π × 반지름² × 높이 ÷ 3 | π × 반지름 × (반지름 + 모선) | 반지름 3, 높이 4 → 37.7, 75.4 |
| 구 | 4/3 × π × 반지름³ | 4 × π × 반지름² | 반지름 5 → 523.6, 314.16 |
원뿔의 모선은 꼭짓점에서 밑면 가장자리까지 비스듬히 잰 길이로, 반지름과 높이로 √(반지름² + 높이²)를 구해요. 반지름 3, 높이 4이면 모선이 5(3-4-5 직각삼각형)이고 겉넓이는 π × 3 × (3 + 5) = 75.4예요. 같은 밑면과 높이를 가진 원기둥과 원뿔은 원뿔의 부피가 정확히 3분의 1이라, 위 예시처럼 원뿔(반지름 3, 높이 4)은 37.7이고 같은 크기 원기둥이 113.1이에요.
생활 속 계산 예시
- 피자 크기 — 지름 30cm 피자(반지름 15)의 넓이는 706.86cm², 지름 40cm(반지름 20)는 1,256.64cm²예요. 지름이 약 1.33배인데 넓이는 약 1.78배라서, 큰 사이즈가 가격 대비 훨씬 많은 양이에요. 두 배가 되려면 지름이 약 1.41배(√2배)면 돼요.
- 방 바닥 면적 — 가로 4m, 세로 3.5m인 방은 14m²이고 평으로는 14 × 0.3025 = 4.235평이에요. 단위를 m로 고르면 평 값도 같이 보여요. 평과 제곱미터는 평 → 제곱미터 변환기로도 바꿀 수 있어요.
- 원기둥 물통 용량 — 반지름 10cm, 높이 30cm 통의 부피는 π × 10² × 30 = 9,424.8cm³이고 1cm³ = 1mL라서 약 9.42L예요.
- 공 포장 — 지름 10cm 구슬(반지름 5)의 부피는 523.6cm³, 겉넓이는 314.16cm²이에요. 같은 지름의 정육면체 상자(한 모서리 10cm)는 부피 1,000cm³라서 구가 차지하는 비율은 약 52.4%(π/6)예요.
- 정원 화단 흙의 양 — 가로 2m, 세로 0.8m, 높이 0.3m 직육면체 화단은 부피 0.48m³=480L예요. 흙 포대 한 포 용량이 정해져 있으니 L로 나눠 포대 수를 구해요.
자주 하는 실수
- 지름을 반지름 칸에 넣기 — 원 넓이는 반지름의 제곱에 비례해서, 지름을 그대로 넣으면 넓이가 4배로 나와요. 반드시 2로 나눈 값을 넣어요.
- 단위가 섞이기 — 가로는 m, 세로는 cm로 넣으면 틀려요. 모든 칸을 같은 단위로 맞춘 뒤 결과 단위(제곱 또는 세제곱)를 읽어요. 1m² = 10,000cm², 1m³ = 1,000,000cm³ = 1,000L예요.
- 높이와 옆변 혼동 — 평행사변형과 삼각형의 높이는 밑변에 수직으로 잰 길이예요. 비스듬한 옆변 길이를 넣으면 넓이가 커져요.
- 부채꼴 각도 — 중심각은 도(°) 단위예요. 라디안으로 알고 있다면 180/π를 곱해 도로 바꿔요(π라디안=180°).
모든 공식은 수학의 정의에서 나오는 값이고 원주율은 컴퓨터가 쓰는 3.141592653589793…이에요. 결과는 소수 넷째 자리까지 반올림해 보여 줘요. 타원 둘레만 근사식이에요. 계산은 이 브라우저 안에서만 이루어지고 입력값은 밖으로 나가지 않아요. 부동산 면적의 평 환산은 평당 가격 계산기와 같은 기준(1평=400/121㎡)이에요.