📈 이차방정식 계산기
ax²+bx+c=0 의 a, b, c를 넣으면 근의 공식으로 실근·중근·허근을 구하고 판별식, 꼭짓점, 근과 계수의 관계, 인수분해 꼴까지 보여 줘요.
사용법
- 방정식을 ax² + bx + c = 0 꼴로 정리해요. 우변에 항이 남아 있으면 모두 왼쪽으로 옮겨 우변이 0이 되게 해요.
- x²의 계수 a, x의 계수 b, 상수항 c를 넣어요. 음수는 부호까지, 소수도 그대로 입력할 수 있어요. 항이 없으면 0을 넣어요(예: x² − 2 = 0 이면 a=1, b=0, c=−2).
- 위쪽 큰 칸에 근이 나오고, 아래에 판별식·두 근의 합과 곱·인수분해 꼴·꼭짓점·대칭축이 이어져요.
- a를 0으로 두면 이차방정식이 아니어서 일차방정식 bx + c = 0 으로 바꿔 풀어 줘요.
근의 공식과 판별식
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 근은 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a예요. 루트 안의 b² − 4ac를 판별식 D라고 하며, D의 부호가 근의 종류를 정해요.
| 판별식 | 근의 종류 | 그래프(y = ax²+bx+c) | 예 |
|---|---|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 | x축과 두 점에서 만나요 | x² − 5x + 6 = 0 → D = 1, x = 2, 3 |
| D = 0 | 중근 (실근 하나) | x축에 꼭짓점이 닿아요 | x² − 4x + 4 = 0 → D = 0, x = 2 |
| D < 0 | 서로 다른 두 허근 | x축과 만나지 않아요 | x² + 2x + 5 = 0 → D = −16, x = −1 ± 2i |
직접 풀어 보는 예시 4가지
① x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6이라 D = 25 − 24 = 1이에요. x = (5 ± 1) ÷ 2 = 3 또는 2. 인수분해하면 (x − 2)(x − 3) = 0이고, 두 근의 합 5는 −b/a, 곱 6은 c/a와 같아요. 꼭짓점은 (2.5, −0.25)로 두 근의 한가운데 x = 2.5에 있어요.
② x² − 4x + 4 = 0
D = 16 − 16 = 0이어서 x = 4 ÷ 2 = 2 (중근)이에요. 좌변은 (x − 2)² 완전제곱식이에요. 그래프의 꼭짓점 (2, 0)이 x축 위에 있어요.
③ x² + 2x + 5 = 0
D = 4 − 20 = −16으로 음수예요. 실수 범위에서는 해가 없고, 복소수로는 x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i 예요(i² = −1). 학교 수학에서 "실근이 없다"고 답하는 문제는 이 경우를 말해요.
④ 2x² + 3x − 2 = 0
D = 9 + 16 = 25, x = (−3 ± 5) ÷ 4 = 0.5 또는 −2. 두 근의 합 −1.5 = −3/2, 곱 −1 = −2/2로 근과 계수의 관계가 맞아요. 인수분해는 2(x + 2)(x − 0.5) = (x + 2)(2x − 1)이에요.
근과 계수의 관계
두 근을 α, β라고 하면 α + β = −b/a, αβ = c/a예요. 근을 구하지 않고도 합과 곱을 알 수 있어서, "두 근의 합이 3, 곱이 2인 이차방정식은?" 같은 문제는 x² − 3x + 2 = 0 으로 바로 세워요. 이 도구는 두 근의 합과 곱을 따로 보여 주니, 직접 푼 답의 검산에 쓰면 좋아요. 허근일 때도 두 근은 서로 켤레복소수여서 합과 곱이 실수가 돼요.
꼭짓점과 대칭축으로 보는 그래프
y = ax² + bx + c의 대칭축은 x = −b/2a이고, 꼭짓점의 y값은 c − b²/4a예요. a > 0이면 아래로 볼록해서 꼭짓점이 최솟값이고, a < 0이면 위로 볼록해 꼭짓점이 최댓값이에요. 예를 들어 −x² + 4x − 3 = 0 은 근이 1과 3이고 꼭짓점이 (2, 1)이라 최댓값 1을 가져요. 던진 공의 높이처럼 "가장 높이 올라갈 때" 문제는 꼭짓점을 구하는 문제예요.
풀이 방법 세 가지 비교
- 인수분해 — 계수가 작은 정수일 때 가장 빨라요. 곱이 c, 합이 b가 되는 두 수를 찾는 방식인데, 근이 무리수나 분수일 때는 잘 안 보여요.
- 완전제곱식 — x² + 6x + 2 = 0 이면 (x + 3)² = 7 로 바꿔 x = −3 ± √7 로 풀어요. 근의 공식을 유도하는 과정이기도 해요.
- 근의 공식 — 어떤 계수에도 쓸 수 있어서 가장 확실해요. 이 도구가 쓰는 방식이에요.
계산할 때 주의할 점
- b = 0 또는 c = 0이어도 이차방정식이에요. a만 0이 아니면 돼요. c = 0이면 x(ax + b) = 0 이라 한 근이 항상 0이에요.
- 우변이 0이 아니면 먼저 옮기세요. x² = 3x + 4 는 x² − 3x − 4 = 0 이 돼서 a=1, b=−3, c=−4예요. 부호를 바꾸지 않고 그대로 b=3, c=4를 넣는 실수가 흔해요.
- 소수점 오차 — 컴퓨터는 소수를 근삿값으로 저장해서 b가 매우 크고 c가 작을 때 작은 근이 0으로 나올 수 있어요. 이 도구는 부호가 같은 항끼리만 더하는 안정적인 순서(q = −(b + sgn(b)√D)/2, 근 = q/a, c/q)로 계산해 x² − 100,000,000x + 1 = 0 의 작은 근도 약 0.00000001로 구해요.
- 표시 자릿수 — 소수 여섯째 자리까지 반올림해서 보여 줘요. 무리수 근(예: √2)은 근삿값이에요.
어디에 쓰이나
이차방정식은 물체를 던졌을 때 땅에 닿는 시간, 일정한 둘레로 만드는 직사각형 넓이의 최댓값, 이익이 최대가 되는 가격 같은 최적화 문제에 쓰여요. 예를 들어 둘레 20m인 울타리로 만드는 직사각형의 넓이는 가로를 x로 두면 x(10 − x) = −x² + 10x 이고, 꼭짓점 x = 5에서 최댓값 25㎡가 나와요. 도형 넓이를 직접 구할 때는 도형 넓이·부피 계산기, 숫자의 약수·소인수를 다룰 때는 소인수분해 계산기가 함께 도움이 돼요.
공식은 중·고등학교 수학 교육과정의 이차방정식 풀이(근의 공식, 판별식, 근과 계수의 관계)와 같고, 위 예시 숫자는 이 페이지와 같은 코드로 직접 검산했어요. 복소수 근은 a, b, c가 실수일 때의 결과예요.