📈 등차·등비수열 계산기
첫째항과 공차(공비), 항 번호로 n번째 항과 첫 n항의 합을 구하고, 두 항으로 공차·공비를 역산하며 무한등비급수까지 계산해 줘요.
사용법
- 등차수열(이웃한 항의 차가 일정)인지 등비수열(이웃한 항의 비가 일정)인지 고르세요.
- 첫째항 a₁, 공차 d(또는 공비 r), 구하려는 항 번호 n을 넣으면 n번째 항과 첫 n항의 합, 앞쪽 10개 항이 나와요.
- 수열의 두 항만 알 때는 계산 방향 → 두 항으로 역산을 고르고 항 번호와 값을 넣으면 첫째항과 공차(공비)를 거꾸로 구해 줘요.
- 등비수열에서 공비의 절댓값이 1보다 작으면 항을 끝없이 더한 무한등비급수 값도 같이 보여 줘요.
등차수열 공식
등차수열은 항이 바뀔 때마다 같은 수 d(공차)를 더하는 수열이에요. 3, 7, 11, 15처럼 4씩 늘어나는 수열이 대표적이에요.
| 구하는 값 | 공식 | 예: a₁=3, d=4, n=10 |
|---|---|---|
| n번째 항 | aₙ = a₁ + (n − 1)d | 3 + 9 × 4 = 39 |
| 첫 n항의 합 | Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2 = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 | 10 × (3 + 39) ÷ 2 = 210 |
| 공차(두 항으로) | d = (a_q − a_p) ÷ (q − p) | a₃=11, a₈=36 → (36−11)÷5 = 5 |
합 공식은 '첫 항과 끝 항의 평균 × 항의 개수'로 외우면 쉬워요. 1부터 100까지의 합은 a₁=1, d=1, n=100이라 100 × (1 + 100) ÷ 2 = 5050이에요. 직접 더한 3+7+11+15+19+23+27+31+35+39도 210으로 같아요. 공차가 음수이면 항이 줄어들어요. 100에서 10씩 줄어드는 수열의 8번째 항은 100 − 7 × 10 = 30, 첫 8항의 합은 8 × (100 + 30) ÷ 2 = 520이에요.
등비수열 공식
등비수열은 항이 바뀔 때마다 같은 수 r(공비)를 곱하는 수열이에요. 2, 6, 18, 54처럼 3배씩 커지는 수열이 대표적이에요.
| 구하는 값 | 공식 | 예: a₁=2, r=3, n=6 |
|---|---|---|
| n번째 항 | aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹ | 2 × 3⁵ = 486 |
| 첫 n항의 합 (r ≠ 1) | Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1) | 2 × (729 − 1) ÷ 2 = 728 |
| 첫 n항의 합 (r = 1) | Sₙ = n × a₁ | 모든 항이 같으니 단순 곱 |
| 공비(두 항으로) | r = (a_q ÷ a_p)^(1 ÷ (q − p)) | a₂=6, a₅=162 → (27)^(1÷3) = 3 |
검산해 보면 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728로 공식 값과 같아요. 공비가 음수이면 부호가 번갈아 바뀌어요. 1, −2, 4, −8, 16의 첫 5항의 합은 1 × ((−2)⁵ − 1) ÷ (−2 − 1) = (−33) ÷ (−3) = 11이에요. 두 항의 번호 차가 짝수이면 공비의 부호가 정해지지 않으므로(제곱은 양수라서) 이 도구는 그런 경우 부호가 맞지 않는다고 알려 줘요.
무한등비급수 — 끝없이 더하면 얼마가 될까
공비의 절댓값이 1보다 작으면 항이 점점 0에 가까워져서 끝없이 더해도 합이 일정한 값에 수렴해요. 그 값은 S = a₁ ÷ (1 − r)이에요. 예를 들어 8, 4, 2, 1, 0.5, …는 a₁ = 8, r = 0.5이므로 8 ÷ (1 − 0.5) = 16으로 수렴해요. 첫 5항의 합은 15.5로 16에 가까워지고 있죠. 공비의 절댓값이 1 이상이면 합이 수렴하지 않아요. 반복 소수 0.333…도 첫째항 0.3, 공비 0.1인 무한등비급수라서 0.3 ÷ 0.9 = 1/3이에요.
직접 풀어 보는 예제 4가지
| 상황 | 수열로 바꾸기 | 답 |
|---|---|---|
| 첫 달 10만 원을 넣고 매달 1만 원씩 더 넣는 12개월 적립 | 등차, a₁=10, d=1, n=12 | 12개월째 21만 원, 총 12 × (10 + 21) ÷ 2 = 186만 원 |
| 첫 줄 20석, 한 줄마다 2석씩 늘어나는 15줄 객석 | 등차, a₁=20, d=2, n=15 | 마지막 줄 48석, 총 15 × (20 + 48) ÷ 2 = 510석 |
| 두께 0.1mm 종이를 10번 접기(이론상) | 등비, a₁=0.1, r=2, 11번째 항 | 0.1 × 2¹⁰ = 102.4mm |
| 1,000만 원 장비가 해마다 가치의 80%만 남는다면 3년 뒤 | 등비, a₁=1000, r=0.8, 4번째 항 | 1000 × 0.8³ = 512만 원 |
종이 접기에서 접기 0번이 첫째항이라 10번 접은 두께는 11번째 항이에요. 이렇게 '몇 번째 항인지'를 세는 데서 실수가 많이 나요. 장비 가치도 지금이 첫째항이라서 3년 뒤는 4번째 항이에요. 문제를 읽으면 먼저 '지금 값이 몇 번째 항인가'를 정하고 n을 맞추세요. 실제 종이는 접을 때마다 접힌 부분의 두께와 크기 제한이 있어서 이론값과 달라요. 예제들의 숫자는 위 공식으로 직접 계산한 값이고 이 도구에 같은 값을 넣으면 같은 결과가 나와요.
합 공식이 나오는 이유
등차수열의 합은 수열을 한 번 뒤집어 같은 수열에 더하면 보여요. 1 + 2 + 3 + 4 + 5를 5 + 4 + 3 + 2 + 1과 짝지어 더하면 모든 짝이 6이고 짝이 5개라서 합의 두 배는 30, 합은 15예요. 일반화하면 (a₁ + aₙ)을 n번 더한 값이 합의 두 배이므로 Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2예요. 등비수열의 합은 Sₙ에 공비 r을 곱한 rSₙ을 Sₙ에서 빼면 가운데 항들이 모두 지워져서 Sₙ − rSₙ = a₁ − a₁rⁿ이 남고, 이를 정리하면 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)이에요. 분자와 분모의 부호를 함께 바꾸면 위 표의 a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)과 같아요. 2, 6, 18의 첫 3항으로 확인하면 2 × (27 − 1) ÷ 2 = 26이고 직접 더한 2 + 6 + 18도 26이에요. 공식의 모양을 이해해 두면 숫자가 바뀌어도 당황하지 않고 풀 수 있어요. 시험에서는 항 번호와 공차(공비)의 부호를 가장 많이 틀리니, 풀이가 끝나면 앞쪽 항 두세 개를 직접 써서 수열의 규칙과 맞는지 검산하는 습관을 들이세요. 이 도구의 앞쪽 항 목록이 그 검산을 대신해 줘요. 항이 아주 많을 때는 처음 10개만 보여 줘요.
수열 문제와 실생활에서 자주 만나는 곳
- 적금·적립 — 매달 불입액을 일정 금액씩 늘려 가는 구조는 등차수열이에요. 이자가 복리로 붙는 계산은 등비수열이고, 같은 구조를 복리 계산기와 연평균 수익률(CAGR) 계산기에서 바로 계산할 수 있어요.
- 좌석·계단·쌓기 — 한 줄씩 좌석이 일정 개수 늘어나는 객석, 한 단씩 개수가 줄어드는 쌓기는 등차수열의 합이에요.
- 접기·분열·감소 — 종이를 접을 때 두께, 일정 비율 감가상각, 세포 분열은 등비수열이에요.
- 시험 문제 — "첫째항이 a, 제5항이 b일 때…" 같은 문제는 위 공식에 두 항을 대입해 풀어요. 역산 모드로 답을 먼저 확인한 뒤 풀이 과정을 맞춰 보는 용도로 쓰기 좋아요.
계산할 때 주의할 점
등차수열에서 d가 0이면 모든 항이 같은 상수열이에요. 등비수열에서 r이 0이면 둘째 항부터 모두 0이에요. 항 번호 n은 1부터 시작해요(a₀는 정의하지 않아요). 숫자가 아주 커지는 등비수열은 컴퓨터가 정확히 표현하는 범위를 넘을 수 있어서, 이 도구는 약 16자리 이상의 큰 수를 지수 표기로 보여 주고 n은 1,000까지로 제한해요. 부호나 항 번호 하나가 틀리면 결과가 크게 달라지니, 앞쪽 항 목록으로 수열이 의도한 모양인지 먼저 확인하세요. 평균이나 표준편차가 필요하면 평균·표준편차 계산기를, 경우의 수는 조합 계산기를 이어서 써 보세요.