📐 직각삼각형 계산기
두 값만 알면 나머지 변과 각도, 넓이, 둘레를 구해요. 피타고라스 정리와 삼각비로 빗변 길이를 계산해요.
사용법
- 직각삼각형의 직각(90°)을 낀 두 변을 밑변 a·높이 b, 직각의 맞은편 긴 변을 빗변 c라고 해요. 각 A는 변 a의 맞은편 각이에요(아래 그림).
- 아는 값 두 개만 넣고 나머지는 비워 두세요. 변 두 개(a와 b, a와 c, b와 c)나 변 하나와 각 A를 넣으면 돼요. 각도만 넣을 수는 없어요(크기가 정해지지 않아요).
- 결과로 나머지 변, 각 A와 각 B, 넓이, 둘레, 빗변에 내린 높이, 내접원·외접원의 반지름이 나와요. 소수는 여섯 자리까지 계산해 반올림해 보여 줘요.
- 3-4-5, 5-12-13처럼 자주 쓰는 정수 삼각형은 버튼으로 바로 넣어 볼 수 있어요.
피타고라스 정리
직각삼각형에서 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같아요. a² + b² = c²예요. 그래서 변 두 개를 알면 나머지 변을 구할 수 있어요.
- 빗변 구하기: c = √(a² + b²). a = 3, b = 4면 c = √(9 + 16) = √25 = 5예요.
- 밑변·높이 구하기: a = √(c² − b²). c = 13, b = 12면 a = √(169 − 144) = √25 = 5예요. 빗변은 항상 다른 두 변보다 길어야 해서, c가 a 이하이면 삼각형이 만들어지지 않아요.
피타고라스 정리의 증명은 고대부터 수백 가지가 알려져 있어요. 작은 정사각형을 직각삼각형 네 개로 둘러싸 큰 정사각형을 만든 뒤 넓이를 비교하는 방법이 가장 직관적이에요. 큰 정사각형의 한 변은 a + b이고, 안쪽의 기울어진 정사각형의 한 변은 c라서 (a + b)² = 4 × (ab/2) + c²이 되고, 이를 정리하면 a² + b² = c²가 돼요.
삼각비로 각도 구하기
변 하나와 각 하나를 알 때는 삼각비를 써요. 각 A를 기준으로 sin A = a/c(높이/빗변), cos A = b/c(밑변/빗변), tan A = a/b(높이/밑변)예요. 이 도구는 아래 공식으로 계산해요.
| 아는 값 | 구하는 공식 |
|---|---|
| a와 b | c = √(a² + b²), A = tan⁻¹(a/b) |
| a와 c | b = √(c² − a²), A = sin⁻¹(a/c) |
| b와 c | a = √(c² − b²), A = cos⁻¹(b/c) |
| a와 각 A | c = a ÷ sin A, b = a ÷ tan A |
| b와 각 A | a = b × tan A, c = b ÷ cos A |
| c와 각 A | a = c × sin A, b = c × cos A |
예를 들어 빗변 10, 각 A가 30°이면 a = 10 × sin 30° = 5, b = 10 × cos 30° = 8.6603이고, 각 B는 90° − 30° = 60°예요. 두 예각의 합은 항상 90°이므로 한 각을 알면 다른 각은 바로 나와요. 밑변 7, 각 A가 45°이면 a = 7 × tan 45° = 7, 빗변 c = 7 ÷ cos 45° = 9.8995로 이등변 직각삼각형이 돼요.
넓이·둘레·높이·원 반지름
- 넓이 = a × b ÷ 2. 3-4-5 삼각형은 3 × 4 ÷ 2 = 6이에요.
- 둘레 = a + b + c. 3 + 4 + 5 = 12예요.
- 빗변에 내린 높이 h = a × b ÷ c. 넓이를 두 가지로 쓴 ab/2 = ch/2에서 나와요. 3-4-5 삼각형은 12 ÷ 5 = 2.4예요.
- 내접원 반지름 r = (a + b − c) ÷ 2. 3-4-5는 (3 + 4 − 5) ÷ 2 = 1이에요. 삼각형 안쪽에 딱 맞게 들어가는 원의 반지름이에요.
- 외접원 반지름 R = c ÷ 2. 직각삼각형은 빗변이 외접원의 지름이라서 R = 2.5예요(탈레스의 정리).
자주 나오는 정수 직각삼각형
세 변이 모두 정수인 직각삼각형을 피타고라스 수라고 해요. 시험과 도면에서 자주 나오는 것만 모았어요. 모든 변에 같은 수를 곱해도 직각삼각형이 유지돼요(3-4-5의 2배는 6-8-10).
| a, b, c | 검산 | 각 A / 각 B |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² | 36.87° / 53.13° |
| 5, 12, 13 | 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² | 22.62° / 67.38° |
| 8, 15, 17 | 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² | 28.07° / 61.93° |
| 7, 24, 25 | 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² | 16.26° / 73.74° |
| 20, 21, 29 | 20² + 21² = 400 + 441 = 841 = 29² | 43.6° / 46.4° |
| 9, 40, 41 | 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41² | 12.68° / 77.32° |
현장에서 쓰는 직각 확인법
목수나 인테리어 현장에서는 한 변을 30cm(또는 3m), 다른 변을 40cm(4m) 잡고 끝점 사이 거리가 정확히 50cm(5m)인지 재서 모서리가 직각인지 확인해요. 큰 방이나 타일 시공에서는 6-8-10, 9-12-15처럼 배수를 쓰면 오차가 줄어요. 대각선 길이가 맞으면 직각이고, 길면 모서리가 90°보다 벌어졌다는 뜻이에요. 사다리를 벽에 기대는 문제도 같은 원리예요. 벽에서 1.5m 떨어뜨려 6m 사다리를 세우면 벽에 닿는 높이는 √(36 − 2.25) ≈ 5.81m예요.
흔한 실수
- 빗변을 헷갈리기 — 빗변은 직각의 맞은편, 가장 긴 변이에요. 두 변을 넣으면서 빗변 칸에 넣지 않았는지 확인하세요.
- 각도 단위 — 입력하는 각은 도(°)예요. 라디안이 아니에요. 계산기에서 sin을 쓸 때 DEG/RAD 설정이 어긋나는 실수가 가장 흔해요.
- 값 세 개 이상 입력 — 직각삼각형은 값 두 개로 완전히 정해져요. 세 개를 넣으면 서로 맞지 않을 수 있어서 하나를 비우라고 안내해요.
모든 계산은 브라우저 안에서 일어나요. 일반 삼각형이나 도형 넓이는 도형 넓이·부피 계산기에서, 제곱근과 삼각함수는 공학용 계산기에서 구할 수 있어요. 피타고라스 정리는 고등학교 수학 과정에 나오는 기본 정리예요.