📊 표준편차 계산기 (분산·평균·표본)
숫자를 붙여 넣으면 평균, 분산, 모표준편차·표본표준편차, 중앙값, 최빈값, 변동계수를 한 번에 계산해요.
사용법
- 위 칸에 숫자를 넣으세요. 쉼표, 공백, 줄바꿈 어느 것으로 구분해도 되고, 엑셀 열을 복사해 붙여 넣어도 돼요. 숫자가 아닌 글자는 무시해요.
- 모집단과 표본 중 맞는 쪽을 고르세요. 전체 자료를 모두 가지고 있으면(반 학생 전원의 점수 등) 모집단, 일부를 뽑아 전체를 추정하려는 자료라면(설문 응답자 등) 표본이에요. 헷갈리면 표본을 쓰는 경우가 많아요.
- 평균, 분산, 표준편차, 중앙값, 최빈값, 최솟값·최댓값, 범위, 변동계수가 나와요. 풀이 칸에는 편차 제곱합을 어떻게 나누었는지가 보여요.
표준편차란
표준편차는 자료가 평균에서 평균적으로 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 값이에요. 같은 평균 70점인 두 반이 있어도 한 반은 모두 65~75점에 몰려 있고, 다른 반은 40점부터 100점까지 흩어져 있을 수 있어요. 표준편차가 작으면 평균 가까이 몰려 있고, 크면 넓게 퍼져 있어요. 단위는 원래 자료와 같아서 점수의 표준편차는 '점', 키의 표준편차는 'cm'예요.
계산 공식
- 평균 = 모든 값의 합 ÷ 개수 n
- 편차 = 각 값 − 평균, 편차 제곱합 = Σ(값 − 평균)²
- 모분산 = 편차 제곱합 ÷ n, 모표준편차 σ = √모분산
- 표본분산 = 편차 제곱합 ÷ (n − 1), 표본표준편차 s = √표본분산
- 변동계수 = 표준편차 ÷ 평균 × 100(%)
손으로 풀어 보기: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
값이 8개이고 합은 40이라 평균은 5예요. 편차와 편차 제곱은 아래와 같아요.
| 값 | 편차 (값−5) | 편차² |
|---|---|---|
| 2 | -3 | 9 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| 합계 | 0 | 32 |
편차 제곱합은 32예요. 모집단이라면 32 ÷ 8 = 4가 분산이고, 표준편차는 √4 = 2예요. 표본이라면 32 ÷ 7 ≈ 4.5714가 분산, 표준편차는 약 2.1381예요. 편차의 합은 항상 0이라서 제곱해서 더하는 거예요.
왜 표본은 (n−1)로 나눌까요
표본의 평균은 이미 그 표본에 맞춰 계산한 값이라, 표본 안의 값들은 진짜 평균(모평균)보다 평균에 조금 더 가까이 붙어 있어요. 그대로 n으로 나누면 퍼짐을 실제보다 작게 추정하게 돼요. 자유도를 반영해 n−1로 나누면 이 치우침이 보정돼요. 표본이 클수록 n과 n−1의 차이는 작아지고, 값이 1개뿐이면 표본표준편차는 정의할 수 없어요. 엑셀에서는 STDEV.P가 모표준편차, STDEV.S가 표본표준편차예요.
실제 예시: 시험 점수 7개
점수 85, 90, 78, 92, 88, 76, 95점의 평균은 86.29점이에요. 모표준편차는 약 6.56점, 표본표준편차는 약 7.09점이고 변동계수는 약 7.6%예요. 평균에서 위아래로 약 7~8점 정도 퍼져 있다는 뜻이에요. 정규분포를 따르는 자료라면 평균 ± 1표준편차 안에 약 68%, ± 2표준편차 안에 약 95%가 들어와요(경험 법칙).
표준편차를 활용하는 곳
- 성적 분석 — 평균과 표준편차가 있으면 내 점수가 평균에서 몇 표준편차 떨어져 있는지(표준점수) 알 수 있어요.
- 투자 위험 — 수익률의 표준편차를 변동성(위험)의 척도로 써요. 같은 평균 수익률이면 표준편차가 작은 쪽이 안정적이에요.
- 품질 관리 — 제품 무게나 길이의 표준편차가 작을수록 균일하게 만들어졌다는 뜻이에요.
- 변동계수 — 단위나 평균이 다른 자료끼리 퍼짐을 비교할 때 표준편차를 평균으로 나눈 변동계수를 써요. 키(cm)와 몸무게(kg)의 흩어짐을 비교하는 식이에요.
자주 하는 실수
- 모집단과 표본을 헷갈림 — 같은 자료라도 결과가 달라요. 자료가 전체인지 일부인지부터 정하세요.
- 분산과 표준편차를 혼동 — 분산은 제곱 단위라서 해석이 어려워요. 표준편차는 분산의 제곱근이라 원래 단위로 돌아와요.
- 이상값 무시 — 극단적인 값 하나가 표준편차를 크게 키워요. 중앙값과 범위도 함께 보세요.
- 평균이 0에 가까울 때 변동계수 사용 — 평균이 0에 가까우면 변동계수가 비정상적으로 커져서 쓰기 어려워요.
평균 ± 표준편차로 읽는 법
자료가 종 모양(정규분포)에 가깝다면 평균 ± 1표준편차 안에 약 68%, ± 2표준편차 안에 약 95%, ± 3표준편차 안에 약 99.7%가 들어와요. 위 시험 점수 예시에서 평균이 약 86점이고 표준편차가 약 7점이면 대부분의 학생이 79~93점 사이에 있다는 뜻이에요. 자료가 한쪽으로 크게 치우쳐 있거나 값이 몇 개 안 될 때는 이 비율이 잘 안 맞으니 대략의 감으로만 보세요.
두 반을 비교해 보기
A반 점수가 70, 70, 70, 70, 70이고 B반 점수가 50, 60, 70, 80, 90이라면 둘 다 평균 70점이에요. A반의 표준편차는 0이고, B반의 모표준편차는 √200 ≈ 14.14점이에요. 평균만 보면 두 반이 똑같지만 표준편차를 보면 B반이 실력 차이가 훨씬 크다는 걸 알 수 있어요. 이럴 때 평균 옆에 표준편차를 같이 적어 두면 자료의 모양이 훨씬 잘 전달돼요. 위 계산기에 두 줄을 각각 넣어 보면 바로 확인돼요.
입력 팁
- 엑셀이나 구글 시트의 열을 그대로 복사해서 붙여 넣으면 줄바꿈으로 구분된 숫자가 인식돼요.
- 1,000처럼 천 단위 쉼표가 정확히 세 자리씩 있으면 하나의 숫자로 봐요. 10,20,30처럼 짧은 값을 쉼표로만 이으면 따로 읽어요.
- 음수와 소수도 넣을 수 있어요. 온도처럼 −3.5 같은 값도 돼요.
- 같은 값이 가장 많이 나오면 최빈값으로 보여 주고, 모든 값이 한 번씩이면 '없음'이에요.
표준편차와 표준오차, 같은 건가요
이름이 비슷하지만 달라요. 표준편차는 자료 하나하나가 평균에서 얼마나 퍼져 있는지를 나타내고, 표준오차는 표본평균이 진짜 평균에서 얼마나 흔들릴지를 나타내요. 표준오차는 표본표준편차를 √n으로 나눈 값이라 표본이 클수록 작아져요. 예를 들어 표본표준편차가 7.09이고 n이 7이면 표준오차는 약 2.68이에요. 논문이나 보고서에서 오차 막대를 볼 때는 표준편차인지 표준오차인지 확인해야 해요. 이 계산기에서 구한 표본표준편차를 √n으로 나누면 표준오차를 바로 얻을 수 있어요.
중앙값과 함께 보는 이유
월급이나 집값처럼 극단적인 값이 섞인 자료는 평균과 표준편차가 크게 흔들려요. 값이 10, 12, 11, 13, 100이라면 평균은 29.2지만 중앙값은 12예요. 이럴 때는 평균 하나로 판단하기 어려우니 중앙값, 범위, 최빈값도 같이 확인하세요. 결과 칸에 이 값들을 한꺼번에 보여 주는 이유예요.
표준점수(Z점수) 구하기
표준점수는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타내요. 공식은 (값 − 평균) ÷ 표준편차예요. 평균이 86.3점, 표준편차가 7.09점인 반에서 95점을 받았다면 (95 − 86.3) ÷ 7.09 ≈ 1.23이에요. 같은 점수 95라도 표준편차가 작은 반에서는 더 높은 Z점수가 나와 상대적으로 더 뛰어난 성적이 돼요. 계산기에서 구한 평균과 표준편차를 이 식에 넣어 쓰면 돼요.
평균만 간단히 구하려면 평균 계산기, 두 변수의 관계를 보려면 선형 회귀 계산기를 쓰세요. 계산은 모두 이 브라우저 안에서 하고, 입력한 값은 서버로 보내지 않아요. 반올림 오차는 소수 마지막 자리에서 생길 수 있어요.