🎯 확률 계산기 (n번 중 k번)
1회 확률과 시도 횟수로 정확히·적어도 k번 나올 확률, 한 번도 안 나올 확률, 목표 확률에 필요한 시도 횟수를 계산해요.
사용법
- 1회 확률(%)에 한 번 시도할 때 성공할 확률을 넣어요. 동전 앞면은 50, 주사위의 특정 눈은 약 16.67, 뽑기에서 표기된 당첨 확률이 3%면 3을 넣으면 돼요.
- 시도 횟수에 몇 번 시도하는지, 원하는 횟수에 몇 번 성공을 보고 싶은지 넣어요. 10번 던져서 앞면이 3번이면 시도 10, 원하는 횟수 3이에요.
- 결과에 정확히 k번, 적어도 k번(k번 이상), 많아야 k번(k번 이하), 한 번도 안 나올 확률이 나와요. 아래쪽에는 평균적으로 몇 번 나오는지(n×p)와, 한 번이라도 나올 확률이 50%·90%·99%가 되려면 몇 번 시도해야 하는지도 보여 줘요.
계산 공식
시도마다 성공 확률이 같고 서로 영향을 주지 않을 때(독립 시행) 성공 횟수는 이항분포를 따라요. 시도 n번 중 정확히 k번 성공할 확률은 다음과 같아요.
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)
C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!) ← n개 중 k개를 고르는 경우의 수
적어도 k번 = P(X = k) + P(X = k+1) + … + P(X = n)
많아야 k번 = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k)
한 번도 안 나올 확률 = (1 − p)^n
한 번이라도 나올 확률 = 1 − (1 − p)^n
평균 성공 횟수 = n × p목표 확률 t 이상으로 한 번이라도 성공하려면 필요한 최소 시도 횟수는 ln(1 − t) ÷ ln(1 − p)를 올림한 값이에요. n이 커지면 팩토리얼 값이 너무 커져서 그대로는 계산할 수 없기 때문에, 이 도구는 로그로 바꿔 더해 가는 방식으로 계산해서 시도 횟수 10,000번까지 오차 없이 계산해요.
직접 계산한 예시
| 상황 | 입력 | 결과 |
|---|---|---|
| 동전 10번 던져 앞면이 정확히 3번 | p 50%, n 10, k 3 | C(10,3)=120 이라 120 ÷ 1,024 = 약 11.72% |
| 동전 10번 던져 앞면이 한 번도 안 나옴 | p 50%, n 10 | (1/2)^10 = 1 ÷ 1,024 = 약 0.098% |
| 당첨 3% 뽑기를 100번 뽑아 한 번이라도 당첨 | p 3%, n 100, k 1 | 1 − 0.97^100 = 1 − 0.0476 = 약 95.2% |
| 같은 뽑기를 100번 뽑았는데 한 번도 못 받음 | p 3%, n 100 | 0.97^100 = 약 4.76% (20번 중 1번꼴) |
| 당첨 3% 뽑기, 50%·90%·99% 확률로 한 번이라도 받으려면 | p 3% | 각각 23번 · 76번 · 152번 |
| 주사위 4번 굴려 6이 한 번이라도 나옴 | p 16.67%, n 4 | 1 − (5/6)^4 = 약 51.8% |
가챠에서 "3% 확률"이라고 100번 뽑으면 반드시 나올 것 같지만 실제로는 한 번도 못 받을 확률이 약 4.8%예요. 반대로 평균 기대 횟수(100 × 3% = 3번)만큼 매번 정확히 나오는 것도 아니에요. 기대값은 수없이 반복했을 때의 평균일 뿐이라, 같은 100번을 뽑아도 0번에서 6~7번까지 사람마다 다르게 나올 수 있어요.
평균과 흩어진 정도
성공 횟수의 평균은 n × p이고, 표준편차는 √(n × p × (1 − p))예요. 3% 뽑기를 100번 뽑으면 평균은 3번, 표준편차는 √(100 × 0.03 × 0.97) ≈ 1.7번이에요. 그래서 대부분의 사람은 평균에서 ±2번 안쪽인 1~5번 사이를 받고, 0번이나 7번 이상은 드물게 나와요. 시도 횟수가 많아질수록 평균에 대한 흩어짐의 비율은 줄어들어서, 같은 3%라도 10,000번을 뽑으면 300번 ± 17번 안팎으로 훨씬 안정적이에요.
| 3% 뽑기 시도 횟수 | 한 번도 못 받을 확률 (0.97^n) | 한 번이라도 받을 확률 |
|---|---|---|
| 10번 | 약 73.7% | 약 26.3% |
| 30번 | 약 40.1% | 약 59.9% |
| 50번 | 약 21.8% | 약 78.2% |
| 100번 | 약 4.76% | 약 95.2% |
| 150번 | 약 1.04% | 약 99.0% |
| 200번 | 약 0.23% | 약 99.8% |
결과를 읽는 방법
- 정확히 k번은 딱 그 횟수일 확률이라 값이 작게 나오는 게 정상이에요. 평균 근처의 횟수도 10~25% 정도에 그쳐요. 보통은 "k번 이상"이나 "k번 이하"를 더 많이 봐요.
- 적어도 k번은 "k번 이상 나올 확률"이에요. 보너스를 받으려면 최소 몇 번 필요한 상황에 맞아요.
- 많아야 k번은 "k번 이하일 확률"이에요. "운이 이 정도로 나빴을 확률"을 가늠할 때 쓰기 좋아요. 이 값이 5% 아래면 꽤 드문 불운이에요.
- 필요 시도 횟수는 같은 확률로 계속 반복해서 시도할 수 있을 때의 이야기예요. 확률이 시도마다 달라지는 천장(보장) 제도, 시도할수록 확률이 올라가는 시스템에는 맞지 않아요.
이 계산이 맞지 않는 경우
이 도구는 "매번 확률이 같고, 이전 결과가 다음에 영향을 주지 않는" 경우만 계산해요. 다음과 같은 상황은 다른 계산이 필요해요.
- 꺼낸 것을 되돌리지 않는 경우(카드 덱에서 뽑기, 로또 번호 맞추기): 한 번 나온 것이 다시 나오지 않아 확률이 바뀌어요(초기하분포). 조합 수를 직접 구하려면 순열·조합 계산기를 쓰세요.
- 천장·확정 보너스가 있는 가챠: 일정 횟수에 도달하면 확률이 오르거나 확정이어서 위 공식보다 실제로 받기 쉬워요. 게임마다 규칙이 달라 직접 확인해야 해요.
- 확률 표기가 반올림된 경우: "3%"가 실제로는 2.5~3.5% 사이 값일 수 있어요. 표기를 그대로 쓴 결과는 근삿값이에요.
- 여러 종류 중 특정 하나를 모으는 경우: 모든 종류를 한 번씩 다 모으려면 필요한 횟수가 훨씬 많아요. 이 도구의 "한 번이라도"는 한 종류에 대한 확률이에요.
자주 하는 착각
- "100번 중 3번이니까 33번째쯤엔 나오겠지": 확률 3%는 "한 번에 3%"이지 "33번 안에 반드시"가 아니에요. 33번을 뽑아도 한 번 이상 나올 확률은 1 − 0.97^33 ≈ 63%예요.
- "연속으로 안 나왔으니 이제 나올 차례": 매 시도가 독립이라면 이전 결과는 다음 확률에 영향을 주지 않아요. 지금까지 49번 실패했어도 다음 한 번의 확률은 여전히 3%예요.
- "평균 3번이니 3번이 가장 흔하다": 100번 뽑을 때 정확히 3번이 나올 확률은 약 22.7%예요. 가장 흔한 횟수이긴 하지만 나머지 77%는 다른 횟수예요.
확률 감각을 잡으려면 시도 횟수를 바꿔 가며 "한 번도 안 나올 확률"이 어떻게 줄어드는지 보세요. 같은 확률에서는 시도를 두 배로 늘려도 실패 확률이 절반이 되지 않고 제곱으로 줄어요. 3% 뽑기에서 50번은 약 21.8%, 100번은 약 4.8%, 200번은 약 0.2%로 떨어져요. 한편 평균 기대값만큼 쓰고 포기하면 대략 세 명 중 한 명 가까이는 한 번도 못 받아요. 1 − 0.97^33 ≈ 63% 라는 계산이 말해 주듯 기대값 횟수(1/p)는 성공이 "보장되는" 숫자가 아니에요. 비용이 걸린 선택이라면 평균이 아니라 90%·99%에 필요한 횟수를 기준으로 예산을 잡는 편이 안전해요.
생활 속 활용 예시
- 제품 불량 검사: 불량률이 2%인 제품을 50개 검사했을 때 불량이 한 개라도 섞여 있을 확률은 1 − 0.98^50 ≈ 63.6%예요. 불량률이 낮아 보여도 검사 수량이 늘면 한두 개는 걸리는 게 정상이에요.
- 날씨 예보: 매일 비 올 확률이 30%라고 가정하면(실제 날씨는 날마다 독립이 아니라서 어디까지나 단순화예요) 7일 중 정확히 이틀 비가 올 확률은 C(7,2) × 0.3² × 0.7⁵ ≈ 31.8%예요.
- 로또 장기 구매: 1등 확률 1/8,145,060로 매주 1장씩 10년(520주) 사도 한 번이라도 1등이 될 확률은 약 0.0064%예요. 계산은 1회 확률에 0.0000123을 넣고 시도 횟수에 520을 넣으면 돼요.
- 이벤트 응모: 당첨 확률 1%의 응모를 하루 1번씩 30일 하면 한 번이라도 당첨될 확률은 1 − 0.99^30 ≈ 26%예요. 응모 횟수가 늘수록 올라가지만 확률이 크게 높아지지는 않아요.
활용 시에는 입력한 확률이 매번 같은지 먼저 확인하세요. 확률이 바뀌는 상황(천장, 누적 보정, 뽑을수록 줄어드는 카드 덱)은 위 식이 어긋나요. 또 소수점 확률은 입력칸에 0.5, 0.75처럼 그대로 넣으면 돼요. 결과가 0.01% 아래로 아주 작으면 지수 표기(예: 1.23e-5%)로 나와요.
모든 결과는 입력한 확률이 정확하고 시도가 서로 독립이라는 가정에서의 이론값이에요. 실제 게임·상품의 확률 정보는 제공사 공지를 확인하세요.